花びらの形　Shapes of petal

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　たまたま目の前に落ちていた花びらである。なんとも不思議な形をしている。その曲面の構成は大胆とも言える。触るとわかるのだが，それはとても柔らかく華奢な素材で構成されている形である。
　この形が，右側の丸まった一点のみでその花の中央付近に固定されているだけで，あとの部分は空中に浮いていることが，不思議でならない。なぜ，そのようなきわどい構造で，そう簡単に崩れることのなくその形を維持しているのか，なかなか受け入れがたいものがある。

This is a petal that just happened to fall in front of me. It has a very strange shape. The composition of its curved surface can be said to be bold. When you touch it, you can see that it is composed of very soft and delicate materials.

　I think no one can help wondering why this form is fixed to the center of the flower by a single rounded point on the right side, while the rest of the flower floats in the air. It is very difficult to understand why it’s able to keep its shape with such a thin and organic structure.

紙モクレン①
紙モクレン②

次

1. 花びらの形　Shapes of petal

まずは足元の草花から見てみよう。どのような種類の草や花が目に入っただろうか。小さいものか，大きいものか，その茎の形は円柱状なのか，角柱っぽいものなのか。その葉は薄いのか，肉厚なのか。それは，ひょろ長いのか，幅広いのか。その葉は曲面状なのか平面状なのか。そして，はかないほど軟い素材で構成される傾向にある花びらは，葉同様に多様であり，それぞれの形にそれぞれの意味がある。

Let's start by looking at the grass and flowers underfoot. What kind of grasses and flowers did you see? Are the stems cylindrical or prickly? Are their leaves thin or thick? Are they long or broad? And are the leaves curved or flat? The petals, which tend to be made of ephemerally soft material, are as diverse as the leaves, and each shape has its own meaning.

そのライフスパンにおいて，重力に耐え，雨風に耐え，時には降雪に耐えなければならない。それらの外乱によって簡単にへし折られてはいけないのである。ひたすら耐えながら成長し光合成を実施しなければならない。または，広く展開し，虫たちの眼にとまらなければならない。つまり構造を保ちつつ，効率の良い太陽光線の取得や誘目性向上を，その形状形成の目的としなければならない。

In the span of its life, it has to withstand gravity, wind and rain, and sometimes snowfall. It must not be easily broken by these disturbances in nature. It has to grow and carry out photosynthesis with its neighboring leaves, while it must also spread out and catch the eye of insects. In other words, the purpose of its shape formation should be to acquire sunlight efficiently and to improve its attractiveness to insects, while maintaining its structure.

2. 花びらの形　ー 曲面を利用した薄くて軟い素材によって構成された形状

2. Petal Shape - A shape composed of thin and soft materials with curved surfaces

　前述の視点で今一度，草花を見直してみよう 。下図は柴モクレンの花びらである。言うまでもないが非常に華奢で脆い。短い期間ではあるが，その美しい形状は間違いなく数日間は維持され，我々の目と気持ちを癒してくれる。散り始めた柴モクレンを拾い，静かに触ってみるとその柔らかさその脆さに愕然とするであろう。ここまで軟らかく張りのない素材が，どうしてこのような曲面を維持することができるのか，とても不思議な感じがする。

　Let us review the plants again from the viewpoint mentioned above. The petals of Magnolia grandiflora shown below, needless to say, are very slender and fragile. I think, however, we have no doubt that their beautiful shape can be maintained for a few days to soothe our eyes and our minds. If you pick up a magnolia blossom that has begun to fall apart and touch it gently, you will be amazed at how soft and fragile it is. It's highly mysterious how such a soft and limp material can maintain such a sophisticated curved surface.

　下の図は，実際の花びら（図1）と，それを3 D スキャン技術により三次元形状測定したものをベースにシェル化し，有限要素法を用いて構造解析をしたものである（図2）。カラーのグラデーションは，直感的に言えば，赤いほど強い力（応力）がかかり，青いほど力がかかっていない状況を示す。相対的に見なければわかりにくい面もあるが，この花びらの付け根付近の赤い部分から花先に向けて青白く分布した応力が，花弁の先まで伝達している様子がうかがえる。つまり，応力を比較的全体で受け止めようとする傾向にあることがわかる。

   The figure below (Fig. 2) shows the result of structurally analysing a model of an actual petal (Fig. 1), in which the petal has been transformed into a numerical shell-model based on 3D shape measurements by 3D scanning technology in order to implement structural analysis using the finite element method (Fig. 2). On an intuitive basis, the color gradation indicates that the force (stress) is stronger when it is red and less when it is blue. It is difficult to understand unless you look at it relatively, but we can see that the stress is distributed continuously from the red area near the base of the petal to the tip of the petal with the light-blue gradation. This indicates that the stress tends to distribute evenly across the whole petal, comparatively.

仮に，コピー用紙で花びらもどきを作ってみよう。その花びらの付け根あたりのみをつまんで水平に持ち上げようとしたとき，不用意なままの切り抜きでは，ふにゃりと曲がりとても本物のようなその見た目とは異なる毅然とした姿勢を保つことはできないであろうことは，それほど想像に難しくないであろう。

Now, let's try to make a pseudo-petal with copy paper.  I think that it is not so difficult to imagine that it would not be able to keep its resolute posture like the real petal if we tried to lift it up horizontally by pinching only the base of the petal, if we cut out the petal from the paper carelessly.

たぶん，そのふがいない紙片をどうにか自立させようと試行錯誤をしているうちに，人によっては不思議な曲面にたどり着くこともあるかもしれない。その時の形がどことなくこの花びらの形と似ていたら，その形の成り立ちの片鱗に触れたことになる。参考とするためにこの花弁曲面の断面分布を図3に示す。

Perhaps, while trying to make a feeble piece of paper stand up on its own by trial and error, some of us might end up with a curious-looking curved surface. If the shape of the piece of paper were vaguely similar to the shape of the petal, then we could have a glimpse of how the shape had been formed. The cross-sectional distribution of this petal curve is shown in Fig. 3.

　普通に考えるとこのような花弁の形も片持ち梁と同じである。片持ち梁とはその片方が固定され，片方が自由な状態であるが，明らかに固定されてるほうに強い力がかかる。実際は，力というよりは，物を曲げるモーメントによると考えた方が正しい表現であるが，ここでは付け根ほど強い力がかかる，それに従って彼等の内部に強い応力がかかる，というふうに理解しておいても間違いはないであろう。

　In general, the shape of the petal is the same as that of a cantilevered beam. As in a cantilevered beam, one side of the petal is fixed and the other side is free, but obviously, the fixed side is subjected to a stronger force. In fact, it is more correct to think of it as a result of the moment of bending rather than a force, but it is correct to understand that, the stronger the force is applied to the root of the cantilever, the stronger the stress occurs inside the root. 

ここまでの考察では，おそらくあまり耳にしたことが，むしろ耳にはしたくないだろう力学力学した言葉がたくさん出てきている。ただ，この形の極意を感じ取るためには，これらに対する理解を避けることはできないので，この後それぞれについて簡単に説明するようにしたい。

図1 柴モクレンの花びら

図2 花びらの応力解析（ミーゼス応力）


図3 花びらの断面分布（淡い青色は裏側，裏側の最初のラインが花の中心に固定されている）

3. 花びらの形の意味を読むために必要な技術と知識

　ここでは，柴モクレンの花びらに注目する。もう少し時期が早ければキャンパスで舞い散るソメイヨシノの花びらの形に対する実際の分析と考察を紹介ができたのだが，今回は季節的に柴モクレンを題材にする。あと一か月ほど経つと工学部の長屋沿いに林立するタイサンボクの花びらが際物として面白いのだが…　
　柴モクレンの花びらは，桜の花びら以上に複雑な曲面で構成されている。まさにシェル（貝殻や卵の殻をイメージしてもいいかもしれない）である。それもかなり複雑なシェルである。この軟そうな形は，重力の下、片持ち状態でその形状を保っているわけだが、自重によって、その形の中に分布する内なる力つまり応力のかかり具合は、形のなか全体でできるだけ均等に分散する傾向にあり、固い（工学的な）言い方をすると、全応力設計的な一つの最適形状がそこにある可能性がある。

Skills and knowledge needed to read the meaning of petal shapes

　In this article, I'll focus on the petals of the Magnolia grandiflora. If it were a little earlier in the year, I could show you an actual analysis and thoughts on the shape of the petals of the Someiyoshino cherry tree that frolics around the campus. And, in another month or so, another kind of petal of the magnolia tree, which is growing along the row of buildings in the Faculty of Engineering, will be a striking sight...

　The petals of the magnolia are composed of more complex surfaces than those of cherry blossoms. Each one is exactly like a shell, or, if you will, an eggshell. And it's like a very complicated shell at that. While it seems very strange that this soft and complicated shape would appear to be unable to maintain its cantilevered form under the force of gravity, due to its own weight, yet the internal force or stress distributed within the shape tends to be distributed as evenly as possible throughout the shape, and we find, in hard engineering terms, nothing less than an optimal shape for total stress design.

３Dスキャン　3D scanning of real things

花びらに限らず，その形の成り立ちを読み解こうとするとき，実物に対する観察を超えるものはないのであるが，実物はその色，テクスチャ，質感などによって，その形は覆われているために，情報過多となり，なかなか素直に形そのものを見抜くことはできない。それ以上に，実物が持つ存在感の強さゆえか，観察者としての未熟さゆえか，実物と対峙するとき，その観察において必須の冷静さをどうしても欠いてしまう傾向にある。そこで，近年，その進化の速度を早めてきている物体の三次元形状を測定する３Dスキャンという技術に頼ることとなる。今となっては，スマホでも３D形状を取得できるのだが，この桜の花びらの３D形状測定には，骨董品と言われつつもレーザー光の反射を利用した高精度な三次元デジタイザ（KONICA MINOLTA 製VIVID910）を使用した。

Although there is no better way to decipher the origin of a form than direct observation of the actual object, such as a petal, it is difficult to perceive the characteristics of the form itself because the actual object is rich in color, texture, etc. on its surface. In short, there is an overload of information.

Furthermore, perhaps because of the strong presence of the real object, or perhaps because of my immaturity as an observer, I have a tendency to lack the calmness that is essential for observation when confronting a real object. For this reason, I've relied on the technology of 3D scanning to measure the 3D shape of objects, which has been evolving at an accelerated pace in recent years. I've used a high-precision 3D digitizer (KONICA MINOLTA VIVID910), which is said to be an antique by my students, to measure the 3D shape of petals, even though it is nowadays possible to obtain 3D shapes even with a smartphone.

1. 

図4　三次元デジタイザ（KONICA MINOLTA 製VIVID910）

３Dスキャンデータのシェル化　Shelling of 3D scan data
　３Dスキャンされた３D形状は点一つひとつが三次元の座標値を持った点群でその形状が構成される。使用するアプリケーションによるが，この点群における隣接する３点を頂点とする三角形を定義し，この三角形を連続して点群全体に広げることで花びら全体を三角目の網の目つまりメッシュに置き換える。この三角形も多角形の一つであり，このメッシュをポリゴンメッシュと称する（図5）。なかなか正確な表現は難しいが，このポリゴンメッシュは，実物とCADモデルの中間にあるともいえる。CADモデルの中で数理的な処理が可能となるのは，その３Dモデルの形を代数曲線のように数理的な形状関数で置き換える必要がある。ポリゴンメッシュのままでは，実物の形に三角目のネットをかぶせただけのようなものなので，その形状には数理性が担保されていない。CAEの処理にかけられない。
　The 3D shape scanned by the measuring equipment is composed of a point cloud in which each point has a three-dimensional coordinate value. Depending on the application, we define a triangle at the top of three adjacent points in the point cloud, and then extend this triangle to the whole point cloud in succession to replace the whole petal with a mesh of small triangles. As a triangle is a kind of polygon, we call the mesh a polygon mesh (Fig. 5). Although it is difficult to express precisely, we may say that this polygon mesh lies somewhere between the real thing and a CAD model. To make possible some mathematical processing in a CAD model, it is necessary to replace the shape of the 3D model with a mathematical shape function such as an algebraic curve. As it is, the polygon mesh is just a net of triangles laid over the shape of the real object, so there seems to be no mathematical assurance of its shape and we cannot analyze the shape with the mathematical treatment that is possible in a CAD-system.
図2,7,8 に示すような応力解析を可能にするには，実物を数理モデルとして再定義しなければならない。花びらのような薄物は，卵の殻や貝殻のような形状であり数理的な定義の上での形であるシェル要素で構成されたものとして再定義されなければならない。図５および図6は，Autodesk社のFusion360によって表示されるポリゴンメッシュと，そのメッシュをFusion360上で，曲線や曲面を生成するためにコンピュータグラフィックスで一般的に採用される数学的モデルであるT-スプライン面で置き換えたCADモデルである。

図5　Autodesk社のFusion360によって表示されるた柴モクレンのポリゴンメッシュ

図6　Fusion360によってCADモデル化された柴モクレンの花びらシェル

自重を受ける片持ち状態の花びらの有限要素法による応力解析

Stress Analysis of Cantilevered Petals under Own Weight by Finite Element Method

ここまで来てようやく，この形の見えざる極意を可視化するところまでたどり着いた。３DCADモデルとして再定義された花びらシェル（図6）は，有限要素法（任意の形の全体を，4面体や6面体などの単純で小さな形である要素に分解し，要素内での形と力の関係を数理的に定義したのちに全体形に戻し，その形の力学的挙動をシミュレートする手法）に従って，特定の材料物性が与えられ，実際の花びらの取り付けられ方や重力からの影響を，それぞれ，幾何学的境界条件と，力学的境界条件とした環境の下で，応力解析が実施される。この結果が図2そのものである。この花びらを思い切り単純化すると，花びらが伸びている縦軸（長軸）方向と，それに直交する横軸方向それぞれに曲げられた長方形状の曲げ板の短辺の一辺のみを拘束し，残りの辺は自由に，水平に重力環境下にさらしている状況であるとイメージしても良い。下図は，実際の形を再現した花びらモデル（シェルモデル）に対する応力結果（図7）と，そのモデルを平面に投影したモデル（プレートモデル）（図8）との比較を示したものである。この比較より，曲面があることで片持ちされた花びらの付け根にかかる応力が，花びら本来の曲面により，平面ではくびれた部分に集中する傾向にある応力が，比較的形全体に分散し薄められている様子が確認できる。

The petal shell is redefined as a 3D CAD model (Fig. 6) according to the finite element method (decomposing the entirety of an arbitrary shape into elements that are simple, small shapes, such as tetrahedrons and hexahedrons, and mathematically defining the relationship between shapes and forces within the elements). In this method, the model is given specific material properties, and stress analysis is carried out under geometric and mechanical boundary conditions respectively for the way the petals are actually attached and the effects of gravity. The figure below shows a comparison of the stress results for a petal model (shell model) that reproduces the actual shape (Fig. 7) and a model that projects the model onto a plane (plate model) (Fig. 8). This comparison shows that the stress at the base of the cantilevered petal is diluted by the curvature of the real petal and is distributed evenly over the entire petal shape except at the root where a greater amount of material tends to be allocated than in other parts of the petal, while the stress tends to be concentrated on the narrower part of the petal in the plane.

そしてさらに重要な点は，その分散された応力が，３D空間に展開していることであり，応力がこのように展開しているということは，同時に花びら上の変形が一方向ではなく複数の方向に入り組んでいることを意味している。これは，平面のコピー用紙の一端を持ち上げても垂れてしまうのに，Uの字に曲げたり，山谷に織ったり，さらには過激にしわを寄せることで，ある程度の曲げに対する剛性が生まれ，片持ちで持ち上げられることと等価なのである。実物では，図7に示された赤色の部分では，他の部位より厚みがあり，体感的にも剛性が高く強度があるように感じ取られる。つまり，花びらはその曲面と材料配置（配置された材料の多さ）によって，効果的な応力分散を実現し，局所的な構造破綻を起こさない工夫がなされ，結果としていわゆる最適設計された構造形態となっていることがわかる。

And more importantly, the distributed stresses are deployed in 3D space, and the fact that the stresses are deployed in this way means that at the same time the deformation on the petals is intricate in multiple directions, not just one. This seems to be equivalent to the fact that paper which is bent into a U-shape, woven and excessively wrinkled, can be lifted up while cantilevered although a flat piece of copy paper may hang down when lifted up.  Actually, the area around the root of the natural shape corresponding to the red area shown in Fig. 7 tends to be thicker than the other areas, which gives the petal a function that is stiff and strong. In other words, the curved surface and the material arrangement of the petal (i.e., the amount of material at each place in the petal) enable effective stress dispersion and prevent localized structural failure, resulting in an optimally designed structural form.

図7　実際の形を再現した花びらモデルに対する応力結果

図8　花びらモデルを平面に投影したプレート状モデルに対する応力結果

応力とは
　応力を説明することは意外と困難である。英語ではStressなのだが，日本語では機械系と建築・土木系でその使い方が微妙に異なる。前者で「応力」と言っているものは，後者では「応力度」である。その習慣を今さら崩すのは難しそうである。それだけ「応力」はやっかいなのである。もちろん，初等的な理解で十分なのだが，力そのものが目で見ることができないこともあり，イメージ力が求められる。『力，見えるじゃないか』という人は，おそらく能力者か，それともその「力」によって生じる変形を見て，力を見たような気になっているものと思われる。ところで実は私は見える。その真偽は置いといて，ここでは，まずはこれまで触れてきた花びらに生じている応力なるものが何なのかをイメージしなければならない。
・ヒモにかかる応力
　おそらくもっともシンプルな形は，竹のように鉛直方向上向きにすくっと立ち上がりながら圧縮にも曲げにも耐えているような形と全く異なり，自立もできなければ，壁から突き出すこともできない「ヒモ」である。ヒモの響きに慣れない人は，当然ロープでも構わない。もっとシンプルなロープとしては，金太郎飴がごとく，その長軸方向のどこでも全く同じ断面を持ち，その断面積に比べて十二分に長いものをロープもしくはヒモと理解していれば，ミシンに絡まっている縫い糸を見ても，巨大タンカーをつなぎとめているロープを見ても，これはヒモだな，ということになる。
　構造要素としてのヒモは，結局，引張力にしか耐えられない構造体を構成する要素である。身の回りにあるヒモを一本準備してほしい。といっても現実のヒモは，ややゴワゴワ（曲げに対しても剛性をもつ，曲がりにくさをもつ）感があるので，これからの理解にとってはややノイズとなるやもしれないので，もう一端には何か錘（大事なマグカップでも良いかもしれない）をぶら下げてもらうと良いかもしれない。そして，それを静かに垂らしてあげると，そこに一つの形が構成される。
　ここで考えてみよう。なぜマグカップはそこに宙吊りにされているのだろうか。片方に握りしめている手のひらには確かにカップとわずかなヒモの重さを感じるだろう。その重さの大方はカップが重力によって地球に引き寄せられていることによる「力」の「反力」であることは，すでに知っている。この鉛直方向下向きに垂れ下がったヒモと宙吊りにされたカップで構成される形は，まずはこの「力」と「反力」の釣り合いによるものであることに異論はないであろう。
　さて，このときヒモは何をしているのか？これが一番面倒である。実はヒモは気づかれない程度に伸びているのである。「力」による変形が起きている。ただこの表現は必ずしも正しいとも言い切れない。逆に，変形が起こされたものは元の状態に戻りたいから「力」を生み出しているとも言えるのである。高校物理まででは，この変形と力の関係は，「ばねばかりのフックの法則」程度に終始しているので，無理もないことであるが，何歳になってもややこしいものである。
　このヒモがカップの重さで少し伸びたとする。その時，ヒモのどの部位が伸びたのだろうか。このヒモがすべてにおいて均一な材料と断面で形成されているなら，どこだろう。手でつかんでいるところだと主張する人もいるかもしれない。もし，ヒモの重さがカップの重さに比べて無視できないほどの存在感があるときにはその回答を否定できない。なぜなら，上に行くほど，その部位のヒモは自分より下のカップの重さと，そこまでの自分自身の重さを支えなければならないからである。しかしここでは，ヒモの重さは無視できる。そうすると，ヒモにもともと局所的な欠陥がないとすると，ある特定の部位で切れてしまうことはミステリーである。
　すべての部位は同じに伸びる。「ヒモが少し伸びた」という感覚は，この局所的な均一な微小な伸び（微小変形）の累積である。ヒモのどの部位を切り出しても，その部位の長さが同じであるかぎり，そこに見えてくる微小変形は同じものである。ここで今一度「ばねばかり」を思い出してほしい。伸びた分だけそれにかける力が大きくなる。そして，その「ばね」を固定している側には，かけている力と反対向きで同じ大きさの「反力」が存在する。この関係が，この局所的に切り出した部位すべてにおいて成立しているとイメージしても間違いはないようである。イメージできただろうか。短い「ばね」が鉛直方向に配列され，そのすべてが作用反作用の原理のもと，均等に伸びている様子がイメージできれば，その「小ばね」一つひとつにかかっているものが「内力」である。この内力を建築・土木系では「応力」と定義しているのである。目標は「応力度」の理解である。もう少しである。
　「ばね」からヒモにイメージを戻そう。物理的な定義でのばねには断面はないが，ヒモにはリアルな断面がある。部位ごとに切り分けられた微小長さのヒモの両端には「内力」がかかっている。形全体が静かに釣り合っているときは，部位も同様に静かにその空間で釣り合っている。部分的に振動している状況はまだかなり先のことである。その微小ヒモの一つの断面に内力がかかり，それと同じ大きさで反対向きの内力がもう一つの断面に同時にかかっている。向きのこととなる内力が，微小ヒモ両断面にかかり均衡しているのである。さて，このヒモがちぎれる時をさらにイメージしてみよう。伸ばして伸ばしていくと，その断面のどこからからほころびが生まれてくるであろう。いきなり同時に全体がぶちと切れることはないであろう。断面それぞれを構成する分子レベルの材料配列にも同様にその力はかかるのである。しかし実のところはこのレベルまで来ると厳密な定義はほぼ不可能である。形あるものを最後まで厳密扱おうとすることの限界がそこにある。
　工学はこの点便利である。実測もしくは経験則的に現象を定義し，ものづくりに生かすことができる。この工学的な，それもかなり初等的な応力の定義として，「応力」＝内力／断面積を紹介したい。単位としては内力はニュートン[N]であり，断面積は平方メートル[m2]である。つまり，応力の単位は[N/m2]であり，これをパスカル[Pa]と書くこともどこかで聞いたことがあるであろう。この[Pa]は，上図の応力解析結果の凡例の一部に106を示すメガ[M]と一緒に書き込まれていることに気付いてほしい。ここで長々と説明を試みている応力と，すでに柴モクレンの花びらで解析した応力とは次元的には同一のものである。もちろんここでは引張変形に関連する応力の説明しかしていないので，花びらが受けている複雑な変形にそのまま持っていけるものでもないが，おおざっぱさを許してもらえるものとするなら，花びらの表（上側）には引張が主にかかり，裏側には圧縮がかかる傾向にあるのは，花びらに限らず，このように一端だけが固定されて水平方向に展開する形，構造においては一般的な応力の分布傾向である。花びらに関してはさらに，ねじれてしまうことも無視できないので，引張，圧縮に加えて長方形を平行四辺形に変形させるような「せん断」に関連する応力も忘れてはならない。純粋に材料力学的にこの手の話をしようとすると，大体このあたりから雲行きが怪しくなる。
　図7，図8の凡例横に示されているVon Mises（フォンミーゼス）はミーゼス応力とか等価応力とが呼ばれる応力の定義の一つであり，引張，圧縮，せん断のすべての変形による応力を，その応力の正負ではなく総合的な大きさがその構造への影響の度合いをシンプルに示すとする考え方の下で，算出されている。つまり，引張にしても圧縮にしてもねじれにしても，特定に部位に生じる応力の強さを明解に示す指標であり，多くのCAE（Computer Aided Engineering）のパッケージおいてデフォルトの応力表示となっている。
　この応力に続いて，避けることのできない「モーメント」が待っているのだが，少なくとも花びらの凄さ，健気さを知るにはこれぐらいでまずは良いかなと考えている。