蜘蛛の巣の形 The shape of a spider's web
蜘蛛の巣の形 The shape of a spider's web
雨上がりの蜘蛛の巣の形は，何かが違う。捕獲用のネットに微妙な曲面が生まれている。おそらく，蜘蛛の糸には，その主である蜘蛛の体重と比較すると，人間では決してまねができないほどの強い張力が掛かっていることだろう。晴れた日の風がない時の蜘蛛の巣のこの面の張りは緊張感を持った平面を構成する傾向にある。ところが，このように順序良く数えきれないほどの雨粒がその糸にぶら下がってくると，なんとも言えない有機的で自然とも言える形が見えてくる。
There seems to be a small difference in the shape of a spider's web after rain to the normal shape that is optimized for capturing insects. Perhaps the spider's thread is under so much tension when compared to the weight of its spider that humans can't hope to imitate it. The tension on the cobweb tends to form a tense plane if there is no wind on a sunny day. However, when countless numbers of raindrops hang down from the thread in good order, the web shows us an organic and natural curved surface.
It's a wonderful shape. It's a real, living web structure. A spider is in the centre and we can feel a firm tension no matter what part we look at. The intersection of radials and spirals embodies the geometrical and organic form of the overall structure. The tension is applied to all parts of the web, and it suggests that the tensile stresses are distributed in the cross-sections of all spider threads.1. 典型的な蜘蛛の巣の形 Typical spider's web shape
見事な形である。中央には蜘蛛が控え，生きたネット構造である。どの部位を見ても緩みなく張りを持っている。短線と短線との交叉によって全体構造としては，幾何学的かつ有機的な形を具現化している。すべての部位に張力がかかり，すべての蜘蛛の糸の断面には引張応力が分布していることになる。
The shape is magnificent. It is a living net structure with a spider in the center. Every part of the structure is taut and secure. The overall structure embodies a geometric and organic form, due to the intersection of short lines and short lines . All parts of the web are under tension, which means that tensile stresses are distributed across the cross-sections of all the spider threads.
図1 蜘蛛の巣を構成する同心円状の周方向の糸と放射状の径方向の糸
蜘蛛が首尾よく，すべての部位において均等な張りを持たせながら彼の仕事場を作ることができたとするなら，このネットはより平面的で，アジアングッズとして目にするドリームキャッチャーのような形になるであろう。ところが，全体的に張りを維持しつつ緩やかに曲面を構成している。特にこの日の降雨によって，規則正しく糸にそって雨粒が配置され，さらにその曲面は際立っているように見える。
If the spider were able to successfully create his work area with equal tension in all parts, this net would be flatter, much like the Asian product known as a dreamcatcher. However, it is composed of a gently curved surface while maintaining overall tension. In particular, raindrops are arranged regularly along the threads, and the natural surface seems to appear to be more distinguished by the rain in daylight.
図2 雨粒が分布するたわむ蜘蛛の巣
この曲面はいったい何なのか。蜘蛛の巣は3次元曲面を構成しているので，そう簡単に分析することはできない。このようになかなか難しい形に立ち向かうときは，まずは2次元に落とし込んで分析することを試みる。
What is the nature of this surface? Since the spider's web consists of a 3-dimensional surface, it is not so easy to analyze it. When we are confronted with such a difficult shape, often a good way of analyzing it – perhaps surprisingly – is to simplify it to two dimensions.
2. 蜘蛛の巣の形の単純化 Simplifying the shape of a spider's web
蜘蛛の巣そのものの構造学的特徴を，リアルな形のままに解析することも今となっては可能になってきている。しかしながら，電卓同様に，結果がすぐ出る道具を，その原理もわからないままに使っていると，かけ算そのものもわからくなってしまう。そこで何が起きているのか，その形の成り立ちの本質的な要素は何なのかなどを明解に知るためには，“うまい”単純化は必須なものとなってくる。
ここでは，中央から外周に向けて放射状に展開する糸の一本（図１中の黄色の線）に注目し，その糸が受ける外的条件いいかえると境界条件を，その糸モデルとともに再現することを目的とする。
It has become possible nowadays to analyze the structural characteristics of a spider's web as it is in its realistic form. However, as with a calculator, if we use a tool that produces immediate results without understanding its principles, we will not be able to understand the calculation itself. In order to know clearly what is happening and what are the essential elements of the formation of the form, "good" simplification is essential.In this topic, we focus on a particular thread (yellow line in Fig. 1) that develops radially from the center to the periphery, and try to reproduce the external conditions or the boundary conditions to which this thread is subjected as well as the thread’s model.
図１中の黄色の糸を主と考えるとき，この同心円状の蜘蛛の巣の周方向（赤線）に配置され，そして黄色の糸と交差する周方向の糸の存在は，交差点における集中荷重で表現できると考える。
If we consider the yellow thread in Figure 1 as the main thread, certain circumferential threads (red lines) which intersect the yellow thread can be represented as a concentrated load at the intersection.
周方向の糸をダイレクトに扱うのではなく，その構造力学的な存在価値を等価な集中荷重（図２中で黄線にそって周期的にバネを介して配置された質量）に置き換えるとする考え方である。さらに，図１の中で光る雨粒の列は，ほとんどの質量を持たないとみなすことができる糸にそって密に点在しているので，その効果も入れるために，糸を現す黄色の短柱にも適度な質量を与えている。図２は，初期状態では水平に配置され，全く同じ状況で離散的に集中質量が負荷された７本の短柱が，重力の影響を考慮した物理シミュレーションにより，振動しながらも，ある一定の釣り合い状態に収束した様子を示している。蜘蛛の巣がなんらかの力を受け，振動し，そして落ち着いたときに見せる形をモデル化したものとでも理解してもらえると問題ないかと考える。
The idea is not to treat the circumferential thread directly, but to replace the effect of intersecting the circumferential threads and the yellow line to its structural dynamic value with an equivalent concentrated load (the mass periodically arranged through the spring along the yellow line in Figures 1 and 2). In addition, since the rows of shining raindrops in Figure 1 are densely scattered along the thread (which can be regarded as having little mass), the short yellow columns representing the thread in Figure 2 are also given a moderate mass in order to include this effect. Figure 2 shows how the seven short pillars, initially placed horizontally and loaded with discrete concentrated masses under exactly the same conditions, converged to a certain state of balance while oscillating in a physical simulation that takes into account the effect of gravity. The upper waveform in Fig. 2 is the result of physical simulation from the time when the effect of gravity starts to be applied until the curve naturally stabilizes. It can be understood as a model of the shape of a spider's web when it is subjected to some kind of force, vibrates, and then settles down.
図２ ２Dにモデル化された径方向に糸このシミュレーション結果より，径方向の糸の中央寄りの端と外周側の端には，大きさが同じで向きが180度異なるFTが存在することを可視化している。この径方向の糸が，重力環境下のもので，水平方向には外力なく釣り合っていることがわかる。
From the results of the simulation, it is visualized that there is a set of FTs of the same size but with different orientations (180) at the central and peripheral ends of the radial thread (Fig.2). It is suggested that these radial threads are in a gravitational environment and are in balance, with no horizontal external forces.
さらに，この力関係を短柱ごとに見ていくとのように，どの部位の短柱であってもその両端にかかる内力はFTであり，必ず短柱ごとに水平方向の力の釣り合いを成立させるために同じ大きさで180度異なる方向にあることが確認できる。図1および図2において観察できる曲線の成り立ちは，重力と糸方向の張力のみとの力のバランスに支配されていると気づくことができる。重力は水平方向の成分は持たないため，各部位における水平方向の力FTは，すべての部位において向きが異なり同じ大きさのFTとのセットで存在しなければこの左右のバランスを成立させることはできない。
Furthermore, if a dynamic force relationship were estimated for each short column (yellow rod), the internal force at both ends of the column should be the FT, which is always of the same magnitude and in a different direction by 180toach other in order to establish the horizontal internal force balance for each short column. It also suggests that the formation of the curves observed in Figs. 1 and 2 is governed by the balance of forces between gravity and the tension in the thread direction which matches the direction of the short column locally. As gravity does not have a horizontal force component, the horizontal force FT at each short column must be present in a set with two FTs of the same magnitude and inverse direction in order for this left-right balance to be established.
また，糸上に点在する雨粒による鉛直方向の力に釣り合いうものは，糸が伸びる方向に発生する張力（引張力）の鉛直方向の力の成分であることは理解できる。つまり，この形を支配するものは，糸が伸びる方向にしか存在できない力（張力／内力・引張力）の鉛直方向の成分と重力の釣り合い，および，相対する水平方向の力の成分同志の釣り合いによって形成されていると理解することができるわけである。
ここでもし，周方向の糸との交叉点で径方向の糸が受ける断続的な力の影響が，径方向に一様に分布している雨粒による負荷荷重の影響により，その断続な力の流入が無視できるとするなら，糸全体に均等な重力による力（物体力）がかかり，テンション構造（張力場構造）特有の有名な曲線に近づくことに気が付くであろう。その有名な曲線は懸垂曲線（懸垂線／カテナリーカーブ）と呼ばれるものであり，シンプルな力と形の関係を容易に具現化してくれるものとしては大切な曲線形状である。
If the influence of the intermittent force which the radial thread is subjected to at the point of intersection with the circumferential thread is negligible, due to the influence of the load imposed by the raindrops uniformly distributed in the radial direction, then a uniform gravitational force (object force) will be applied to the whole thread, and the curve will finally approach the famous curve characteristic of tension structures. This famous curve is called a suspension curve (or catenary curve), and it is an important curve shape as it easily realizes a real and sophisticated relationship between force and form.
懸垂曲線を体験することはとっても容易である。材質は問わない。ただ，くしゃくしゃとしてもそれに抵抗することなく引張力を受けること以外に全く興味をしめさないものである必要がある。少しでも曲げられることに抵抗を示す素材であると，この曲線の繊細な形と力のバランスは乱されることになる。It is very easy to experience a suspension curve. The material composing the curve does not matter. It is only necessary that the material should not resist being bent if it is crumpled, and it is not at all interested in anything other than being subjected to a tensile force. If the material resists being bent in any way, the delicate shape of the curve and the balance of forces will be disturbed.
図4 引張力と重力との釣り合いの形，懸垂曲線
蜘蛛の巣を単純化していくと，膜やロープで構成される大型の建造物にもみられる懸垂曲線の形が，そこに存在することを確認することができる。懸垂曲線にしても蜘蛛の巣にしても，全体に張力，引張応力が分布し連続する見事に張りのある形であると言える。そしてこの形は意外と身近なところで目にすることができる。
The simplification of the spider's web confirms the existence of a suspension curve, which is also found in large buildings made of membranes suspended from cables. Both the suspension curve and the spider's web have a wonderfully taut form, with tension and tensile stress distributed throughout. And this form can be seen in many places around us.
図5 電線も懸垂曲線
3. もう一つの蜘蛛の巣の形 Another form of spider's web
前述したように蜘蛛の巣を構成する要素は糸であり，糸は引張応力のみを受け止めることができる素材なので，その糸によって構成されるすべての部位に連続して張力がかかる構造でなければ，その美しい形は成立しない。そしてその構造的特徴ゆえに，雨粒などによる負荷荷重を受けることで，張力を受けることを主とする構造では，いたって自然な形状である懸垂曲線がそこに現れることを理解した。
As mentioned above, the element that makes up a spider's web is thread, and since thread is a material that can only take tensile stress, the beautiful shape of a spider's web can only be achieved in a structure where tension is applied continuously to all the parts that are composed of the thread. And because of this structural characteristic, it has been understood that a suspension curve, which is a very natural shape, appears in the structure that mainly receives tension by being loaded with raindrops continuously distributed on the threads.
ところが，ステレオタイプともいえる同心円群と放射状の糸による蜘蛛の巣ネットのイメージを揺るがす形態に遭遇することができた。However, I have met a web that did not conform to the stereotypical image of a spider’s web with concentric circles and radial threads.
図6 箱状の蜘蛛の巣
この形の中には同心円も放射状のものも見当たらない。この巣の主（オレンジ色に光っている）も，わかりやすく中央付近にいるのではなく，なんとも自由な位置にて待機している。
There are no concentric circles or radial shapes in this shape. The owner of the nest (glowing orange) was not in the centre of the nest, but was waiting for something in a very free position.
箱状の巣の中をランダムに張り巡らされた糸の存在は朝日の反射で確認できるものの，そこに規則性を見出すことはできない。ただ言えることは，この箱の底面の曲面を除いては，すべての部位において比較的同じ密度で糸が様々な方向に配置されているようにうかがえる。ランダムな配置にもかかわらず，全体に均等さがうかがえ構造体としての軽やかささえ感じ取ることができる。そして驚くべきは，この蜘蛛の巣もどの部位を見ても緩みやたるみがなく，リズミカルなほど張りを保っている。つまり，すべての部位においてその糸は適切な引張応力を受け，重力や風力，枝から葉を通して伝わる振動による外力とうまくバランスを取っていると理解できる。その中でも底の曲面の緊張感は見事であり，この蜘蛛の建築家としての才能をうらやむほどである。Although the presence of threads randomly stretched through the box-like web can be confirmed by the reflection of the morning sun, no regularity can be found there. The only thing that can be said is that the threads seem to be arranged in various directions with relatively the same density in all areas, except for the curved surface at the bottom of the box. In spite of the random arrangement, there is an evenness to the whole structure, and one can even feel the lightness of the structure. What is surprising is that this spider's web is not loose or sagging in any part, but remains rhythmically taut. In other words, in every part of the web, the threads are subjected to appropriate tensile stresses and are well balanced with external forces such as gravity, wind, and vibrations transmitted from branches through leaves. The tension of the curved surface at the bottom is so especially impressive that I would envy this spider's talent if I were an architect.
図7 底部の形状
近づいて見ると底部の小構造はより細やかであり，この箱状巣の他の側面や内部には見ることのできない連続した構造である。さらには下の枝から上に伸びる数本の糸によって，その底面は緊張感をもって引き下げられており，優雅な三次元曲面を構成している。
ここでも，考察を明解にするために，この形の単純化を行う。
Closer inspection reveals a finer substructure at the bottom, a continuous structure that cannot be seen on any other side or interior of this box web. Furthermore, the bottom of the web is pulled down by tension provided by several threads extending upward from the branches below, forming a graceful three-dimensional curved surface.
Again, for the sake of clarity, I will simplify this form.
4. 箱状蜘蛛の巣底部の形の単純化
この底部にさらに近づいてみると，どこかで見たような曲線が見えてくる。どうも懸垂曲線を上下反転させたような形が見えてくる。そこで，この曲面の稜線を手掛かりに２Dモデル化を図る。
If you look closely at the bottom part of this structure, a familiar curve should be apparent to you. It looks like an upside-down version of a suspension curve. So another 2D model using the ridge line of this curve as a clue is to be defined.
図 底部に見られる逆懸垂曲線
この稜線を基準の糸と見立て，その稜線から前後に展開する底部メッシュシートの張力の影響は均等に分布するバネに置き換えることを考えた。必ずしも厳密なモデル化ではないが，形があることと力が分布し伝達していることは，特にこのような自然の形においては等価であるといっても間違いでないことが多い。
This ridge line is considered to be the reference thread, and the effect of the tension in the bottom mesh-like sheet that develops behind and in front of the ridge is replaced by an evenly distributed spring in the figure. This is not necessarily an exact model, but it is often the case that the existence of the shape and the distribution and transmission of the forces are equivalent, especially in natural shapes such as this one.
稜線だけを糸として残し，他はその稜線の糸に働きかける張力としてその存在を置き換えているのである。
Only the ridge is left as a thread, and the rest replaces the small springs and the weights as a tension acting on the thread of the ridge.
図 ２Dモデル化された箱状蜘蛛の巣底部の稜線
The ridge of the bottom of a boxy spider web modelled in 2D
この結果は，実は当然のことである。引張にしか耐えることのできない構造要素で構成される構造体は，その構造要素の軸方向を主軸とする引張力と構造全体にかかる外力との釣り合い関係においてのみ成立するわけなので，その形の基本的な造形原理は同一のものとなっても不思議なことではないだろう。
The "initial state" is defined as the state before the traction from the lower branch (initial state), and the simulation is carried out from the time at which the traction force is applied until the vibration of the whole structure subsides (after the vibration has subsided), in which the traction force is replaced with the two weights.
As a result, a curve similar to the actual ridge line is obtained. If we consider that the form of the traction provided by the upper row of springs in the 2D model is subjected to a restoring force from this row, which also tries to return to the initial state, and that this force acts in the same way as the gravitational force governing the general suspension curve, it seems that the upward convex curve is definitely of the same quality as the suspension curve.
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